Будущий актер Анатолий Бурков родился в деревне Ужовка Ардатовского района Горьковской области (ныне — Нижегородская область). После службы в армии он поступил в Горьковское театральное училище на специальность «Актер драматического театра». В 1972 г. молодой актер приглашен в русский драмтеатр г.Чебоксары.
Фурманов, Тартюф, Подколесин, Плюшкин - всего около ста образов, воплощенных актером Анатолием Бурковым на сцене русского драмтеатра за 44 года. Анатолий Иванович и в жизни, и на сцене выделяется исключительной интеллигентностью и благородством, внутренним взрывным темпераментом. В своих образах он ищет, прежде всего, социальную сторону. Умеет отличать состояние героев, словно их знает и чувствует. Его Кучумов в спектакле «Бешеные деньги» А.Островского бесконечно органичен, завораживает своей точностью и простотой поведения.
Еще одно дарование актера – играть эпизодические роли. Находясь всего несколько минут на сцене сложно заслужить симпатию зрителей. Именно таким мастером эпизода оказался Анатолий Бурков. Внутренняя гармония и актерская природа помогают его эпизодическим ролям превращаться в яркое пятно в сознании зрителей. Об этом свидетельствуют Иван в спектакле «Без вины виноватые» А.Н.Островского, Осип в комедии «Ревизор» Н.Гоголя и др.
Анатолий Иванович - активный общественный деятель. В 70-е годы 20 века он избирался депутатом Чебоксарского городского совета. Много лет является членом Союза театральных деятелей России, неоднократно избирался в художественный совет театра, а также в члены местного комитета профсоюзов.
Безусловными достоинствами актера являются владение словом, прекрасная дикция, безграничное чувство юмора, умение донести мысль. А за кулисами коллеги знают Анатолия Ивановича как доброго и благородного человека, который всегда поднимает настроение дружеской шуткой и поддерживает приятным словом.